Halaman
165Limit FungsiLimit FungsiIVBabTujuan PembelajaranSetelah mempelajari babini, diharapkan kalian dapat1. menjelaskan arti limitfungsi di satu titik;2. menghitung limit fungsialjabar di satu titik;3. menjelaskan sifat-sifatyang digunakan dalamperhitungan limit;4. menjelaskan arti bentuktak tentu dari limitfungsi;5. menghitung bentuk taktentu dari limit fungsialjabar;6. menghitung limit fungsiyang mengarah ke kon-sep turunan.MotivasiMisalkan kalian ingin mengetahui kecepatan motor crossyang sedang melaju. Dapatkah kalian menentukan kecepatantepat pada waktu ke-t? Tentu kesulitan, bukan? Mengapademikian? Hal ini terjadi karena rentang waktu sangat kecil.Untuk memudahkan perhitungannya, dapat dilakukan dengannilai pendekatan kecepatan rata-rata. Untuk menentukankecepatan rata-rata dengan rentang waktu sangat kecil (mendekatinol), dapat digunakan konsep limit.Limit fungsi merupakan salah satu bahasan utama yang akandigunakan dalam kalkulus, terutama turunan dan integral. Dalamfisika, limit banyak digunakan dalam penentuan kecepatan,percepatan, kemiringan (gradien) suatu garis atau bidang, danperubahan-perubahan sesaat lainnya. Dalam bidang ekonomi,limit fungsi digunakan untuk penurunan fungsi biaya marjinal,fungsi-fungsi elastisitas (permintaan, penawaran, produksi), danlain-lain.Sumber:Dokumen Penerbit
166Khaz Matematika SMA 2 IPS• bentuk tak tentu• berhingga• gradien• limit• limit kanan• limit kiri• mendekati• pemfaktoran• sekawan• substitusi• tak berhingga• teorema limit pusatFungsi AljabarmembahasLimit KonsepTurunanLimit FungsixAaxA'Substitusi, asalkanhasil tidak 00PemfaktoranPerkalianSekawanMemerhatikanKoefisien PangkatTertinggi (untukBentuk Pecahan)Dengan Rumusb–pa2Sifat-Sifat Limitterdiri atasdiselesaikan dengandiselesaikan denganKata KunciPeta Konsep
167Limit FungsiA. Definisi Limit Fungsi AljabarMateri limit baru kalian pelajari pada kali ini. Sebelumnya,kalian belum pernah mempelajari tentang limit. Untuk itu, kalianharus memahami pengertian limit terlebih dahulu.Kata limit berasal dari bahasa Inggris, berarti mendekati.Sesuai dengan kata mendekati, jika dikatakan bahwa x mendekati2, artinya nilai x itu hanya mendekati nilai 2, tetapi tidak pernahbernilai 2. Untuk mempermudah perhitungan, kata ”mendekati”dinyatakan dengan simbol ”A”.Pemahaman limit secara intuitif dapat kalian pahami melaluiuraian berikut.Misalkan f(x) = 10x, dengan x bilangan-bilangan real. UntukxA 2, artinya nilai x& 2, tetapi dapat diambil nilai-nilai disekitar 2. Misalnya, 1,91; 1,95; 1,99; 2,01; 2,05; dan 2,09. Adapunnilainya dapat ditampilkan pada tabel berikut.Tentunya materi limit fungsi masih asing bagi kalian. DiSMP, kalian belum pernah mempelajarinya. Pada pembahasankali ini, kalian diajak untuk mempelajari limit fungsi. Dalammenentukan nilai limit fungsi, kalian akan sering menggunakansubstitusi dan pemfaktoran. Kedua cara ini telah kalian pelajaridi kelas X.Sebelum kalian mempelajari bab ini lebih lanjut, jawablahpertanyaan-pertanyaan berikut ini.PrasyaratKerjakan di bukutugasSetelah kalian mampu menjawab soal-soal di atas, mari kitalanjutkan mempelajari materi berikut.1.Misalkan diberikan fungsi f(x) = 3x2 – 2x + 1. Apakahsama artinya f(3) dan f(2,999....)?2.Diketahui fungsi f(x) = x2 – 4 dan g(x) =21 00xxxx<)> ̈©ª;;a.Tentukan nilai fungsi f(x) dan g(x) untukx = –1; –0,5; –0,05; –0,001; –0,0001.b.Tentukan nilai fungsi f(x) dan g(x) untuk x = 5; 1;0,5; 0,05; 0,001; 0,0001.c.Untuk x yang makin mendekati nol dari hasil a,menuju nilai berapakah f(x) dan g(x)?d.Untuk x yang makin mendekati nol dari hasil b,menuju nilai berapakah f(x) dan g(x)?Gambar 4.1
168Khaz Matematika SMA 2 IPSDari tabel di atas tampak bahwa untuk xA 2, nilai 10xA 20.Secara geometris dapat ditampilkan seperti Gambar 4.1.Dengan demikian, secara intuitif, limit fungsi dapat diartikansebagai berikut.x1,911,951,992,012,052,09f(x)19,119,519,920,120,520,9Misalkan f suatu fungsi dalam variabel x dan L adalahbilangan real.axAlimf(x) = Ldiartikan untuk x mendekati a (ingat: x& a), nilai f(x)mendekati L.Secara formal, limit fungsi didefinisikan sebagai berikut.axAlimf(x) = L diartikan untuk setiap bilangan ¡ > 0 seberapapun kecilnya, terdapat sebuah bilangan b > 0 sedemikianrupa sehingga jika 0 < |x – a| < b, berlaku | f(x) – L | < ¡.Definisi ini adalah definisi limit secara umum. Definisi limitsecara umum akan kalian perdalam pada jenjang pendidikan yanglebih tinggi. Di SMA, kalian hanya diajak untuk mempelajaridefinisi limit secara intuitif.Suatu fungsi dikatakan mempunyai limit di titik a jika limitdari kiri dan limit dari kanan bernilai sama. Limit dari kirimaksudnya adalah nilai pendekatan f(x) untuk x bergerakmendekati limitnya melalui nilai-nilai yang membesar (melaluinilai-nilai x < a). Limit dari kanan maksudnya adalah nilaipendekatan f(x) untuk x bergerak mendekati limitnya melaluinilai-nilai yang mengecil (melalui nilai-nilai x > a). Untukmempermudah penulisan, x yang mendekati a dari kiri ditulisxAa– dan x mendekati a dari kanan, ditulis x A a+.Jadi, dapat disimpulkan sebagai berikut.Jika Lxfax )( lim=<A dan Lxfax )( lim=+A maka<Aaxlimf(x) = +Aaxlimf(x) = axAlimf(x) = L.Artinya, nilai limit f(x) untuk x mendekati a ada, yaitu L.
169Limit FungsiContoh:Apakah nilai limit fungsi berikut ada?a.2limAx(2x + 3)b.2limAxf(x), untuk f(x) = x;xx; x 5 5<<* ̈©ª5Jawab:a.Misalkan xA 2– (nilai-nilai x < 2)Tampak bahwa untuk xA 2–, nilai f(x) makin mendekati 7.Artinya, <A2limx(2x + 3) = 7.Misalkan xA 2+ (nilai-nilai x > 2)x2,102,092,052,01 2,001f(x)7,207,187,107,02 7,002x1,901,951,961,991,995 1,999f(x)6,806,906,926,986,99 6,998Gambar 4.2Tampak bahwa untuk xA 2+, nilai f(x) makin mendekati7.Artinya, +A2limx(2x + 3) = 7.Karena <A2limx(2x + 3) = +A2limx(2x + 3) = 7 maka 2limAx(2x + 3)= 7.b.Misalkan xA 5–.Artinya,<A5limxf(x) = <A5limxx = 5.Misalkan xA 5+.Artinya, +A5limx(5 – x) = 5 – 5 = 0.Karena +A5limxf(x) &<A5limxf(x) maka 5limAxf(x) tidak ada.Gambar 4.3Soal Kompetensi 1• Kerjakan di buku tugasDi antara fungsi-fungsi berikut, manakah yang mempunyailimit di titik yang diberikan? Jika ada, tentukan nilai limitnya.1.f(x) = 3x ; xA 22.f(x) = 5x – 1 ; xA 33.f(x) = x2 – 1 ; xA 14.f(x)) = 7 ; xA 5
170Khaz Matematika SMA 2 IPS5.f(x) = 1 – x2 – x3 ; xA 06.f(x) = ª© ̈*<1 51 1 x;x; ; xA 17.f(x) = ª© ̈*<<2 32 1 22x;xx;x ; xA 28.f(x) = ª© ̈*<<1 91 1 10xx;x;x ; xA 19.Tentukan limit fungsi di bawah ini untuk x mendekatinilai yang diberikang(x) =xxxxxxx22001111,, ;,)<<A+* ̈©«ª«10. Tentukan limit fungsi di bawah ini untuk x mendekatinilai yang diberikang(x) = xxxxxxx220112152,, ;,)<<<A+* ̈©«ª«Kalian telah mengetahui bahwa nilai limit tidak harus samadengan nilai fungsinya. Ada suatu fungsi yang mempunyai nilailimit di suatu titik, tetapi tidak mempunyai nilai fungsi di titikitu. Perhatikan fungsi f(x) = 1 1 2<<xx. Fungsi ini tidak mempunyainilai di x = 1 (mengapa?). Namun, meskipun fungsi ini tidakmempunyai nilai di x = 1, kita tidak boleh menyatakan bahwafungsi ini tidak memiliki nilai limit untuk x mendekati 1. Misalkanf(x) = 1 1 2<<xx dan g(x) = x + 1. Fungsi f(x) = 1 1 2<<xx, tidakterdefinisi di x = 1. Dengan demikian, kita tidak memerhatikannilai x = 1. Sekarang, bandingkan nilai limit fungsi g(x) = x + 1.Keduanya dapat kalian perhatikan pada grafik-grafik di samping.Dari grafik f(x) = 1 1 2<<xx tampak bahwa faktor (x – 1) & 0,artinya x& 1. Oleh karena itu,B. Menentukan Nilai Limit Fungsi Aljabar(a)21fxxx()=<<211(b)2g(x) = x + 1Gambar 4.4
171Limit FungsilimxxxA<<1211 = limxxxxA<<1( + 1)( 1) 1 = limxA1x + 1 = 1 + 1 = 2.Faktor x – 1 dapat dieliminir (dihilangkan) karena x – 1 & 0.1limAxg(x)= 1limAx(x + 1)= 1 + 1= 2Dengan demikian, 1limAxf(x) = 1limAxg(x).Secara intuitif, kalian dapat menduga nilai limxxxA<<1211 .Dengan menggunakan kalkulator, hitunglah nilai f(x) = xx2<<11untuk x seperti yang ada dalam tabel di bawah ini.Apabila nilai f(x) pada tabel di atas sudah dicari, kalian dapatmelihat bahwa untuk x mendekati 1 (dari kanan maupun darikiri) nilai f(x) mendekati 2.Hal yang sama juga dapat dilakukan untuk mencari nilailimit g(x) = x + 1 untuk x mendekati 1. Lakukan langkah di atasuntuk nilai x yang sama (0,9; 0,99; ...; sampai mendekati 1).Hasil perhitungan menunjukkan bahwa makin dekat nilai xdengan 1 maka nilai g(x) makin mendekati 2.Jadi, kita dapat memahami bahwa meskipun kedua fungsiitu berbeda, namun memiliki nilai limit yang sama. Limit fungsiseperti ini lebih mudah diselesaikan dengan cara memfaktorkan.Untuk itu, mari kita pelajari beberapa cara menentukan nilai limitfungsi aljabar.x–100,50,90,99 1,05 1,151,52f(x)...........................1. Menentukan Nilai Limit Fungsi untuk x A aMisalkan f(x) memiliki nilai limit untuk x A a, nilai limitnyadapat ditentukan dengan caraa.substitusi;b.pemfaktoran;c.mengalikan dengan faktor sekawannya.Agar lebih jelas, perhatikan uraian berikut.
172Khaz Matematika SMA 2 IPSa.Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan SubstitusiMisalkan fungsi f terdefinisi di setiap x bilangan real, nilailimit fungsinya sama dengan nilai fungsinya. Untuk memperolehnilai limitnya, kalian dapat menyubstitusikan secara langsungke dalam fungsi tersebut.Contoh 1:Tentukan nilai limit fungsi berikut.a.2limAx(2x – 7)b.1 1 3lim1+<AxxxJawab:a.Fungsi f(x) = 2x – 7 terdefinisi di setiap nilai x.2limAx(2x – 7) = 2(2) – 7 = –3b.Fungsi f(x) = 2 1 3+<xx terdefinisi di setiap nilai x, kecualidi x = –2.322 11 3(1)2 1 3lim1=+<=+<AxxxContoh 2:Tentukan nilai limit fungsi berikut.a.1 3lim20+Axxxb.1 1 lim21<+Axxxc.xxx6 lim0<AJawab:a.0 101 3(0)01 3lim220==+=+Axxxb.'==<+=<+A021 11 11 1 lim221xxxc.'<=<=<=<A06 06 06 lim0xxx(bilangan positif yangtak berhingga besarnya)(negatif dari bilanganyang tak berhinggabesarnya)Apakah makna limxA02x samadengan f(x) = 2x, untuk x =0?Jelaskan.Tugas: Berpikir Kritis• Kerjakan di buku tugas
173Limit FungsiMariBerdiskusiInkuirib.Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan PemfaktoranKalian telah mengerti cara menentukan nilai limit dengansubstitusi. Bagaimana jika hasil substitusi itu 00? Jika limit suatufungsi dikerjakan dengan cara substitusi menghasilkan nilai 00,berarti kita harus menggunakan cara lain, misalnya pemfaktoran.Misalkan limit fungsi )()(xgxf didekati x A a menghasilkan00 sehingga fungsi g(x) dan f(x) pasti mempunyai faktor (x – a).Oleh karena itu, kalian harus menghilangkan faktor-faktor yangsama dari f(x) dan g(x) terlebih dahulu.Misalkan fungsi f(x) = ((xagxxahx<<)())(). Dengan demikian,limxaA f(x) = lim()()() ()xaxagxxahxA<< = lim()()()()xagxhxgahaA=.Jika ternyata gaha()()=00 maka cari faktor-faktor g(x) dan h(x)sama. Kerjakan dengan cara serupa.Untuk mempermudah perhitungan dengan cara pemfaktoran,kalian ingat kembali bentuk faktorisasi aljabar berikut.1)x2 – y2 = (x – y)(x + y)2)x2 – 2xy + y2 = (x – y)23)x2 + 2xy + y2 = (x + y)24)x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2)5)x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)Coba jelaskan dengan bahasamu sendiri, apakah limit fungsiitu? Misalkan tertulis limx2A(x2 – 4). Dapatkah dikatakan bahwalimx2A(x2 – 4) = f(2), untuk f(x) = x2 – 4? Jelaskan alasanmu.Bagaimana cara menentukan nilai limit suatu fungsi yang tidakdapat ditentukan dengan pemfaktoran maupun substitusi?Berikan contohnya.
174Khaz Matematika SMA 2 IPSPerhatikan contoh berikut.Contoh:Tentukan nilai limit fungsi berikut.a.4 16 lim24<<Axxxb.lim 7 12 4 322xxxxA<+<+3xc.3 27 lim33<<AxxxJawab:a.4 16 lim24<<Axxx=4 4) (4) (lim4<+<Axxxx=4limAx(x + 4) = 4 + 4 = 8b.3 4 12 7 lim223+<+<Axxxxx=3) (1) (3) (4) (lim3<<<<Axxxxx, karena (x – 3) & 0maka kita dapat membagi dengan(x – 3)=lim 4 1xxxA<<3=343112<<=<c.3 27 lim33<<Axxx=lim 3 33xxxA<<33= 3 9) 3 (3) (lim23<++<Axxxxx=3limAx(x2 + 3x + 9)=32 + 3(3) + 9 = 27c.Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan MengalikanFaktor SekawanKalian tentu masih ingat dengan faktor sekawan. Materifaktor sekawan telah kalian pelajari di kelas X. Pada pembahasanlimit fungsi, kita akan menggunakannya untuk menentukan nilailimit fungsi aljabar. Limit fungsi yang akan kita tentukan nilainyadengan mengalikan faktor sekawan, biasanya mengandung tanda
175Limit Fungsiakar. Oleh karena itu, pengalian dengan faktor sekawan di-maksudkan untuk menghilangkan tanda akar sehinggaperhitungan lebih mudah dan sederhana. Beberapa bentuk faktorsekawan yang sering dipakai dalam menentukan limit fungsi diantaranya adalah sebagai berikut.1) (x – a) faktor sekawan dari (x + a) dan sebaliknya.2)x – a faktor sekawan dari x + a dan sebaliknya.3)xy< faktor sekawan dari xy+ dan sebaliknya.4)fx() – a faktor sekawan dari fx() + a dan sebaliknya.Selain akar pangkat dua atau akar kuadrat, ada pula bentukakar pangkat tiga dari suatu fungsi seperti xx+<113 danxx<<823. Kalian tentu masih ingat bahwa (x – y)(x2 + xy + y2) =x3 – y3.Bentuk ini dapat kalian gunakan untuk menentukan nilailimit suatu fungsi yang mempunyai bentuk akar pangkat tiga.Contoh:Tentukan limit fungsi berikut.a.limxA<<<1211xxxb.limxxxA<<272733Jawab:a.limxA<<<1211xxx=limxxxxxxxxA<<<×+<+<12112121=lim ( (2 1 1)( 2 1)1xxxx xxA<<<+<))22(=lim()xxxxxxA<<<+<12 1)1)(21(=lim()xxxxxA<<<+<11)1)(21(=limxxxA<+<1 121=<+=<11112Kuis• Kerjakan di buku tugaslimxxxxxA<<<122 = ....a. –112d. 1b.–1e. 112c. 0SPMB 2007
176Khaz Matematika SMA 2 IPSb.limxxxA<<272733=lim((xxxxxxxA<<×++++273273)3 9)3 9223333=lim()xxxxxA<++<27(3327)(39)272=27limAx(xx233++39)=2727233++39= 9 + 3(3) + 9 = 27Soal Kompetensi 2• Kerjakan di buku tugasTentukan nilai limit fungsi berikut.1.2limAx(2x2 – 3x + 1)9.3 2 3 3 lim2223<<<+<Axxxxxx2.1 2 31 2lim221+<+Axxxx10.limxxxxxxA<<+<<£¤²¥¦ ́22(2(224)22)2)3.12 16 lim224<<<Axxxx11.limxxxA<+<<435154.6 5 4 lim222+<<Axxxx12.lim()hhhA+<02245.5 8 33 2lim221++<<Axxxxx13.limxxxA<<22426.limxxxxxA++02310214.limxxxA<<+2435227.limtttttA<+0226315.limxxxA<+<121428.limttttA<+<123212. Menentukan Limit Fungsi di Titik Tak Berhingga(Pengayaan)Sebelum mempelajari limit fungsi di titik tak berhingga,perlu kalian ketahui bahwa lambang ”'” bukanlah notasi suatubilangan. Namun, lambang itu hanya menyatakan suatu bilanganyang sangat besar.
177Limit FungsiSekarang perhatikan bilangan-bilangan berikut.Tampak bahwa makin besar pembaginya, nilai x1 menjadi makinkecil mendekati nol. Hal ini ditulis untuk xA', nilai x1A 0.Perhatikan gambar di samping. Kita dapat melihat bahwa makinbesar nilai x, grafik makin mendekati sumbu X, yang berarti x1makin mendekati nol.Dengan demikian, mudah bagi kalian untuk mengatakannxx1lim'A = 0.Pada pembahasan kali ini, kita akan mempelajari bentuk limityang apabila dikerjakan dengan substitusi, diperoleh '', yaitunilai )()(limxgxfx'A.Seperti yang telah kalian ketahui bahwa nxx1lim'A = 0. Limit fungsiberbentuk )()(limxgxfx'A, dengan f(x) dan g(x) fungsi pangkatdikerjakan atas dasar nxx1lim'A = 0. Misalkan pangkat tertinggidari variabel adalah f(x) dan g(x) adalah m maka variabelberpangkat tertinggi adalah xm. Nilai limitnya dapat ditentukansebagai berikut.limlimxxmmfxgxfxgxxxA'A'=×£¤¥¦£¤¥¦()()()()11* "+, "+Gambar 4.51011001000.11...000.1001000.000.11...0,10,010,001...0,000010,0000010,00...1
178Khaz Matematika SMA 2 IPSContoh 1:Tentukan nilai limit fungsi berikut.a.xxxxx 21 2 3lim323++<'Ab.1 3 2lim23+<'Axxxxc.1 4 2lim32++'AxxxxJawab:a.xxxxx 21 2 3lim222++<'A=limxxxxxxxA'<++×£¤¥¦£¤¥¦32121133332=231 212 3limxxxx++<'A='+'+'<1 212 3= 0 20 0 3++< = 23b.limxxxxA'<+23132=limxxxxxxA'<+×£¤¥¦£¤¥¦233233111=32111 2limxxxx+<'A='+''<'A131 2limx=0 00 2+< = 'Kuis• Kerjakan di buku tugaslim....xxxxxA'<<+£¤²¥¦ ́=222121a. 2d.14b. 1e. 0c.12UM-UGM 2006
179Limit Fungsic.limxxxxA'++24123=limxxxxxxA'++×£¤¥¦£¤¥¦241112333=321 412limxxxx++'A='+'+'1 412 = 0 40 0++ = 0paxgxfx)()(lim='A jika m = n'+='A)()(limxgxfxjika m > n dan a > 0'<='A)()(limxgxfx jika m > n dan a < 0)()(limxgxfx'A = 0 jika m < nLimit bentuk )()(xgxf untuk xA' dapat dikerjakan dengan cepat.Misalkan f(x) mempunyai pangkat tertinggi m dan g(x)mempunyai pangkat tertinggi n. Dalam pembahasan limit, tentukalian masih ingat nilai limit berikut.1.Jika limxcAf(x) = 0 dan limxcAg(x) = a, aDR maka limxcfxgxA()() = 0.2.Jika limxcAf(x) = a > 0 dan limxcAg(x) = 0 maka limxcfxgxA()() = + '.3.Jika limxcAf(x) = a < 0 dan limxcAg(x) = 0 maka limxcfxgxA()() = – '.Dengan demikian, kita dapat menentukan nilai limit berikut.Untuk f(x) = axm + bxm–1 + ... + a0 dan g(x) = pxn + qxn–1 + ... + b0,berlaku
180Khaz Matematika SMA 2 IPSContoh 2:Tentukan limit fungsi berikut.a.1 1 2 lim22++<'Axxxxc.1 2 5lim25<+<'Axxxb.1 7 2lim23+<'Axxxd.1 37 6lim72+<'AxxxJawab:a.Misalkan f(x) = x2 – 2x + 1 dan g(x) = x2 + 1. Tampakbahwa pangkat tertinggi kedua fungsi sama, yaitu 2. Olehkarena itu,111 1 2 lim22=++<'Axxxx = 1sebab 111 1 1lim1 1 2 lim11222==++<=++<''''A'Axxxxx.b.Misalkan f(x) = 2x3 – 7 dan g(x) = x2 + 1. Pangkat tertinggif(x) adalah 3, pangkat tertinggi g(x) adalah 2, dan koefisiendari x3 adalah 2 > 0.Oleh karena itu,'=+<'A1 7 2lim23xxxsebab lim1lim0711xxA'A''''<+=<+=='272232xx.c.Misalkan f(x) = –5x5 + 2 dan g(x) = x2 – 1. Pangkat tertinggif(x) adalah 5, pangkat tertinggi g(x) adalah 2, dan koefisienx5 adalah –5 < 0. Oleh karena itu,'<=<+<'A1 2 5lim25xxxsebab lim21lim0211xxA'A''''<+<=<+<=<=<'55552xx.d.Misalkan f(x) = 6x2 – 7 dan g(x) = 3x7 + 1. Pangkat tertinggif(x) adalah 2, pangkat tertinggi g(x) adalah 7. Oleh karenaitu,0 1 37 6lim72=+<'Axxx sebab lim671xA''''<+==3030.Kuis• Kerjakan di buku tugaslim()()()()()xxxxxx xA'+<<<<+54513323 72= ....a. 2d. 8b. 4e. 12c. 6UM-UGM 2006
181Limit FungsiPerhatikan bentuk limit berikut.limxaxbx caxpx qA'++<++22Dengan menggunakan perkalian sekawan, diperolehlimxaxbx caxpx qaxbx caxpx qaxbx caxpx qA'++<++×++++++++++222222= lim()( )xaxbx caxpx qaxbx caxpx qA'++<+++++++2222= lim()()xbpx cqxabxcxapxqxA'<+<+++++£¤²¥¦ ́22= lim–( )xbpcqxabxcxapxqxA'+<+++++22= bpaa<+= bpa<23. Limit Tak Berhingga dalam Bentuk AkarKalian tentu dapat menyele-saikan limit bentuklim () ()xUx VxA'<, denganU xaxbx c()=++2 danV xaxpx q()=++2.Bagaimana cara menentu-kan limit fungsilim() ()xUx VxxcA'<<jikaU xaxbx c()=++2 danV xaxpx q()=++2, dengan a&r?TantanganInovatif• Kerjakan di buku tugasKalian harus ingat, koefisien x2 pada kedua tanda akar harus sama.Dari uraian di atas, diperoleh rumuslimxaxbx caxpx qbpaA'++<++=<222Contoh:Tentukan limxxxxxA'<+<+<3233522.Jawab:Dari soal diketahui a = 3, b = –2, dan p = 1.Dengan menggunakan rumus di atas, diperolehlimxxxxxA'<+<+<=<<32335212322= <32333. = <133
182Khaz Matematika SMA 2 IPSProblemSolvingTentukan lim ()xxxxA'<< <+2522.Jawab:lim ()xxxxA'<< <+23522= lim ()xxxxA'<<<+25222= limxxxxxA'<+<<+224452Dari bentuk terakhir, diperoleh a = 1, b = –4, dan p = –5.Dengan menggunakan rumus, diperolehlim()xxxxxA'<+<<+=<<<2244524521 = 12.Soal Kompetensi 3• Kerjakan di buku tugasTentukan nilai limit fungsi berikut.1.1 7 21 7 2lim22<++<'Axxxxx2.1 31 2 4lim33<<+<'Axxxxx3.xxxx2 6 7lim2+<'A4.1 24 2lim423+<'Axxxx5.xxxxx2 2lim87+<'A6.2 34) (23) (lim2<+<'Axxxx7.limxxxA'+< 25 22238.limxxxA'<+ 1 1559.limxxxA'+<1110.limxxxA'+<£¤¥¦2 53 1211.limxxxxxA'<+<+<2265112.limxxxxxA'<+<+<2412212213.limxxxxA'<< <+2223514.limxxxxA'<++225115.limxxx xA'<+<81216.limxxxA'<< <9231217.lim ()xxxxA'<< <+32 9 21218.lim ()()xxxA'<<++41 41 1219.lim ()()xxxxA'+<++1322 12220.lim ()xxxxA'<<+<52 228 12
183Limit FungsiC. Sifat-Sifat Limit dan PenggunaannyaKalian telah mempelajari bentuk limit fungsi aljabar. Jikakalian telah memahami limit-limit fungsi tersebut dengan baik,kalian dapat menarik kesimpulan bahwa dalam perhitungan limitberlaku aturan-aturan (sifat-sifat tertentu), baik penjumlahan,pengurangan, perkalian, pembagian, dan perpangkatan. Untukmemahami sifat-sifat itu, lakukan Aktivitas berikut.AktivitasTujuan:Menyelidiki sifat-sifat limitPermasalahan:Sifat-sifat apakah yang berlaku pada limitfungsi?Kegiatan:Kerjakan soal-soal berikut ini.1. Berapakah nilai limxA26? Berapa pulanilai limxA29?2. Berapakah nilai limxA2?3. Samakah nilai limxA14x dengan 4 limxA1x?4. Samakah nilai limxA2 (2x +x2) denganlimxA22x + limxA2x2?5. Samakah nilai limxA3(x + 1)(x + 2)dengan limxA3(x + 1) .limxA3(x + 2)?6. Samakah nilai limxA++2231xx denganlim ()lim ()xxAA++22231xx?7. Samakah nilailimxA2x4 denganlimxA()24x?8. Samakah nilailimxA2(2x – 1)n denganlim()xA<()221xn? Bagaimana jika nrasional?Kesimpulan:Berdasarkan jawaban dari kegiatan nomor1–8, coba simpulkan sifat-sifat limit yangdapat kalian peroleh.
184Khaz Matematika SMA 2 IPSMisalkan n bilangan bulat positif, f dan g fungsi-fungsi yangmempunyai limit di titik a, dan c suatu konstanta, berlakusebagai berikut.1.axAlimc = c2.axAlimxn = an3.axAlimcf(x) = caxAlimf(x)4.axAlim(f(x) ±g(x)) = axAlimf(x) ±axAlimg(x)5.axAlimf(x) ×g(x) = axAlimf(x) ×axAlimg(x)6.limlimlimxaxaxafxgxfxgxAAA= ( (()()))7.axAlimf(x)n = (axAlimf(x))n8.limlimxanxanfxfxAA= (())Dari Aktivitas di atas, kalian akan dapat menyimpulkan sifat-sifat berikut.Sifat-sifat di atas biasa disebut teorema limit pusat (Centrallimit theorem).Agar kalian lebih paham dalam penggunaannya, perhatikancontoh-contoh berikut.Contoh:Tentukan nilai-nilai limit fungsi berikut.a.1limAx(x2 – 6x + 7)b.0limAx(2x + 7)3x 1<5c.limxxxA++£¤¥¦03271Jawab:a.1limAx(x2 – 6x + 7) =1limAxx2 – 1limAx6x + 1limAx7=12 – 6 1limAxx + 7= 1 – 6(1) + 7 = 2
185Limit Fungsib.0limAx(2x + 7)3x 1<5=0limAx(2x + 7) . 0limAx3x 1<5=[0limAx2x + 0limAx7] . 0limAx3x 1<5= [2(0) + 7] × (30() 15<)=7<15=–7c.301 7 2lim ́¦¥²¤£++Axxx=301 7 2lim ́¦¥²¤£++Axxx=3001) ( lim7) (2 lim ́ ́ ́¦¥²²²¤£++AAxxxx=31 07 )0(2 ́¦¥²¤£++=713£¤¥¦ = 343Kuis• Kerjakan di buku tugasJika Uxxx()=+<2572dan Vxxx()=+<38252maka nilai lim() ()xUx VxxA<<33= ....a.<75226b.<85226c.<95226d.<105226e.<115226UM-UGM 2005Soal Kompetensi 4• Kerjakan di buku tugasDengan menggunakan sifat-sifat limit, tentukan nilai limitfungsi berikut.1.1limAx(3 – 2x + x2)5.2 3 4 lim222+<<Axxxx2.2limAx(3x2 – 2x + 1)6.xxxx sinlim20+A3.2limAx(2x<1 + 3)7.limxxxA<<1211()4.1limAx(x – 1)108.limxxxxA<<12(1)2229.1limAxf(x), dengan f(x) = ª© ̈*<<1 1; 41 ; 2xxxx10.2limAxfx(), dengan f(x) = ª© ̈*+<+2 5; 22 1; 4xxxx
186Khaz Matematika SMA 2 IPSD. Limit Fungsi yang Mengarah ke Konsep TurunanLimit merupakan konsep utama dalam kalkulus turunan(diferensial) maupun integral (invers turunan). Sebelummempelajari turunan, kalian harus memahami bentuk limit yangmengarah pada materi-materi itu. Untuk dapat memahaminya,perhatikan gambar berikut.(a)(b)Gambar 4.6Misalkan titik P(x1, y1) dan Q(x2, y2) digambarkan pada Gambar4.6 (a). Garis g berpotongan dengan fungsi f(x) di titik P dan Q.Jika gradien garis g adalah m, nilai m adalahm = yyxx2121<<Pada Gambar 4.6 (a) tampak bahwa y2 = f(x2) dan y1 = f(x1).Oleh karena itu,m = fxfxxx() ()2121<<Jika 6x = x2 – x1 dan 6y = y2 – y1 (6 dibaca: delta), persamaangradien menjadim= fxfxxx() ()2121<<= fxxfxx()(11+<66)Sekarang perhatikan Gambar 4.6 (b). Jika titik P sebagai titiktetap dan titik potong Q bergerak mendekati titik P maka 6x =x2 – x1A 0 (dibaca: delta x mendekati nol). Artinya, garis gberubah menjadi garis singgung kurva y = f(x) di titik P sehingganilai m menjadi berikut.
187Limit FungsiContoh:m = lim)66xfxxfxxA+<6011()(Bentuk limit semacam ini akan dikembangkan ke arah konsepturunan (diferensial). Materi ini akan kalian pelajari pada babselanjutnya.Secara umum, gradien (kemiringan suatu garis) menyinggungkurva f(x) dapat ditentukan dengan limit berikut.m = xxfxxfx6<6+A6)( ) (lim06x biasanya juga dituliskan dengan h.Agar kalian lebih mahir dalam penggunaannya, perhatikan contohberikut.Tentukan limit fungsi hxfhxfh)( ) (lim0<+A jikaa.f(x) = 4x – 3;b.f(x) = 4x2.Jawab:a.hxfhxfh)( ) (lim0<+A=hx hxh)3 (4 )3 ) (4(lim0<<<+A=limhxhx hA+<<+043434 =hhh4lim0A=0limAx4 = 4b.hxfhxfh)( ) (lim0<+A=hxhxh2204 ) 4(lim<+A=hxhxhxh22204 4 8 4lim<++A=0limAh(8x + 4h)=8x
188Khaz Matematika SMA 2 IPSProblemSolvingTentukan gradien garis singgung kurva y = 1 – x2 di titik A(1, 0)dan di titik B(–1, 0).Jawab:Untuk menentukan gradien garis singgung kurva y = 1 – x2 dititik A dan B, dapat kalian lakukan dengan menentukan nilai m.Nilai m ditentukan dengan m = hxfhxfh)( ) (lim0<+A, untukf(x) = 1 –x2.Dengan demikian, diperoleh sebagai berikut.hxfhxfh)( ) (lim0<+A= hxhxh) 1( )) ((1lim220<<+<A= 0limAh(–2x – h)= –2xJadi, m = –2x. Untuk A(1, 0) maka m = –2(1) = –2.Untuk B(–1, 0) maka m = –2 (–1) = 2.Secara geometris, hal ini dapat digambarkan seperti gambardi samping.Gambar 4.7Soal Kompetensi 5• Kerjakan di buku tugas1.Tentukan fungsi m(x) jika m(x) = hxfhxfh)( ) (lim0<+A,untuk fungsi-fungsi f berikut.a.f(x) = 5e.f(x) = 2x2 – x + 1b.f(x) = 1 – xf.f(x) = 3x2 – 2x – 1c.f(x) = 10x2 – 1g.f(x) = (x + 1)(2x – 1)d.f(x) = (5x – 1)2h.f(x) = (x + 1)2(x – 1)2.Tentukan nilai m di titik P(0, 2)jika m = hxfhxfh)( ) (lim0<+A, untuk fungsi-fungsi fberikut.a.f(x) = 10e.f(x) = (x + 2)(2x + 1)b.f(x) = 2x – 5f.f(x) = 2x3c.f(x) = 2x2 + 1g.f(x) = (x – 1)3d.f(x) = x2 – 7x + 12h.f(x) = (x – 1)2(x + 1)3.Misalkan m adalah gradien garis g yang menyinggungkurva y di titik A. Tentukan m jika diketahui kurva y dan
189Limit Fungsititik A sebagai berikut. Kemudian, berikan gambarangeometrisnya.a.y = 1 – 9x2; A(0, 1)b.y = x2 – 9; A(–3, 1)c.y = (x – 1)(x + 2); A(1, 0)d.y = x3; A(0, 0)4.Sebuah benda bergerak menurut persamaan s(t) = 3t2 –2t + 1. Jika kecepatan benda dinyatakan sebagaiperubahan jarak yang ditempuh setiap perubahan waktu,tentukana.kecepatan benda pada saat t = 5 detik;b.kecepatan benda pada saat t = 10 detik.5.Kawat suatu jembatan gantung diikatkan pada tiangpenyangga yang terpisah pada jarak 8 m. Kawatmenggantung dengan bentuk parabola dan titik terendahberada 16 m di bawah titik gantung, tentukan besar sudutantara kawat gantung dan tiang penyangga (e). (Ingatgradien suatu garis biasanya menyatakan nilai tangensuatu sudut). Lihat ilustrasi di samping.6.Sebuah kota dijangkiti oleh epidemi flu burung. Petugasmenaksir bahwa setelah t hari mulainya epidemi,banyaknya orang yang sakit dinyatakan dengan p(t) =120t2 – 2 t3, untuk 0 )t) 40. Tentukan laju penularan fluburung pada saat t = 10, 20, dan 40.7.Sebuah kapal tanker pengangkut minyak mengalamikebocoran di laut lepas sehingga menyebabkan tumpahanminyak berbentuk lingkaran. Jari-jari lingkaran tumpahanminyak tersebut bertambah besar pada laju tetap, yaitu 2km/hari. Tentukan laju pertambahan luas daerahtumpahan minyak setelah 3 hari.8.Berat suatu tumor membahayakan pada saat t (dalamminggu) adalah w(t) = 0,2t2 – 0,09t gram. Carilah lajupertumbuhan tumor ketika t = 120 jam.9.Tentukan laju perubahan luas suatu lingkaran terhadapkelilingnya pada saat kelilingnya 6 cm.10. Zat cair mengalir dengan debit 3.600 cm3/s ke dalamtangki silinder vertikal bejari-jari alas 2 m. Tentukankecepatan naiknya permukaan zat cair itu.JembatanJalanJalanTiang penyanggaTiang penyanggaGambar 4.8Tugas: Informasi Lanjut• Kerjakan di buku tugasCarilah wawasan dari inter-net atau buku referensi laintentang contoh-contoh fung-si yang tidak memiliki limitdi titik tertentu, serta contohlimit fungsi f(x) yang meme-nuhi limxaAf(x) = f(a), a suatukonstanta. Untuk memper-kaya wawasanmu, carilahinformasi tentang kontinui-tas dan pelajarilah. Buatkesimpulannya.
190Khaz Matematika SMA 2 IPS1.Limit axAlimf(x) = L secara intuitifdiartikan untuk x mendekati a, tetapix & a maka f(x) mendekati L.2.Misalkan f(x) memiliki nilai limituntuk x A a, nilai limitnya dapatditentukan dengan cara susbtitusi,pemfaktoran, dan mengalikan faktorsekawan.3.Jika f(x) = axm + bxm–1 + ... + a0 dang(x) = pxn + qxn–1 + ... + b0, berlaku:a.lim()()xfxgxapA'= jika m = nb.lim()()xfxgxA' = +' jika m > n dan a > 0c.lim()()xfxgxA' = –' jika m > n dan a < 0d.lim()()xfxgxA' = 0 jika m < n4.Sifat-sifat limita.axAlimc = cb.axAlimxn = anc.axAlimcf(x) = caxAlimf(x)d.axAlim(f(x) ±g(x))= axAlimf(x) ±axAlimg(x)e.axAlimf(x) g(x) = axAlimf(x) ×axAlimg(x)f.)(lim)(lim)()(limxgxfxgxfaxaxaxAAA=g.axAlimf(x)n = (axAlimf(x))nh.lim( )limxannfxfxAA=xa ()5.Konsep dasar turunan dari fungsi f(x)ditentukan denganxxfxxfx6<6+A6)( ) (lim0.RefleksiCoba review kembali konsep limit yangbaru saja kalian pelajari. Dari konsep itu,mampukah kalian memberi gambaran(dengan bahasamu sendiri) tentangmakna limit fungsi? Berikan sebuah kasusyang penyelesaiannya dapat diarahkan kebentuk limit fungsi.Rangkuman
191Limit Fungsi1.limxxxxxA<+02232 = ....a.<32d.23b.<23e.32c.02.limxxxxxA<<<3223183 = ....a.0d.3b.1e.'c.23.limxxxA<<442 = ....a.0d.4b.1e.'c.24.Nilai 3 9 lim23<<Axxx = ....a.0b.3c.6d.61e.'5.Nilai limxxxA<<111 = ....a.–3b.1c.2d.3e.'6.Nilai limxxxxA<+<3 10 21 922 = ....a.34<d.32b.32<e.34c.07.Jika limxxxaxA<+<2232 = 1 maka nilai aadalah ....a.–2b.–1c.0d.1e.28.limxxxxxA<+0 = ....a.0b.12c.1d.2e.'9.lim()xxxxA<++<1111)(2x3 = ....a.0b.1c.2d.13e.'Tes Kemampuan Bab IV• Kerjakan di buku tugasA. Pilihlah jawaban yang tepat dengan memberi tandasilang (x) pada huruf a, b, c, d, atau e.
192Khaz Matematika SMA 2 IPS10. Nilai 2limAxf(x) = ª© ̈*<<<2 ;2 72 1; 2xxxx adalah ....a.2b.3c.4d.7e.tidak ada11. Nilai limxxxxA+<<<22222= ....a.–21d.1b.0e.'c.2112. Nilai limxxxxA+<<0399 = ....a.3d.12b.6e.15c.913. Nilai dari limxxxxA<+<322239 adalah ....a.–19b.–18c.13d.12e.2314. Nilai limxxxA'+<<()48 23 adalah ....a.0b.2c.5d.11e.'15. Nilai lim()xxxxA<+<12332211 adalah ....a.0b.13c.15d.17e.1916. Nilai limtttA+<+<031111 adalah ....a.0d.32b.13e.2c.2317. Nilai limxnxxA<<111 adalah ....a.n2 – 1d.1b.n2 – ne.'c.n18.1 21 7 6lim425<++<'Axxxxx = ....a.3d.0b.2e.'c.119.limxxxxxA'++++2234323 = ....a.0b.13c.'d.3e.43
193Limit Fungsi20. Jika diketahui fxx()=253 maka nilailim()()pfx p fxpA<<0 adalah ....a.<255xd.21523xb.<253xe.2153xc.<21543x21.limxxxxA'++3912 = ....a.0d.3b.13e.'c.122. Nilai limxxxA<<+322947 adalah ....a.8d.1b.4e.0c.9423.limxxxxA'++<52 3622 = ....a.<32d.56b.'e.0c.1224.lim()hxh xhA+<022 = ....a.0d.2x + hb.2he.'c.2x25.hxf h x fh)( )(lim0<+A, untuk f(x) = 3x2 –6x + 1 adalah ....a.6xb.6x – 6c.3x – 6d.3x2 – 6e.–6x26.lim)() ()hxA+<+0fhf xhf xh(, untuk f(x) =3x – 1 adalah ....a.3b.3x + 2c.–3x + 4d.–3x + 1e.3x – 227. Diketahui f(x) = 3x2 – 2 dan (g$f)(x) =15x2 – 7. Nilailim()()hghghA+<022 = ....a.5d.5xb.10e.5x + 3c.1328. Persamaan garis singgung kurvayx=<152 di titik (2, 1) adalah ....a.y = x – 1b.y = 5 – 2xc.y = 5 – xd.y = x + 1e.y = 1 – x29.Gradien garis singgung kurva yxx=<()1di x = k adalah ....a.kk()1<d.l – kb.112()<ke.11()<kc.kk21()<30. Gradien garis singgung parabolay = 1 – 2x – 3x2 di titik (–2, –7) adalah....a.3b.6c.9d.10e.14
194Khaz Matematika SMA 2 IPSB. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut denganbenar.1.Tentukan nilai limit fungsi berikut.a.limxxxA'+<+()21blimttttA'+<<+1112c.limxxxxA'<<+234122d.lim()xxxxA'+<<()222e.0limAxf(x) untuk f(x) = xxxxxx3<<<* ̈©«ª«; 02; 022. Carilah kemiringan/gradien garissinggung kurva y = 9 – 2x2 di titik (2, 1).Tentukan persamaan garis singgungtersebut.3.Biaya total produksi (dalam dolar) x unitkomoditas tertentu adalah C(x) = 5.000+ 0,05x2. Tentukan biaya marjinal karenapeningkatan produksi sebesar 10 unit.4.Apabila diberikan fungsi biaya total C(x)dengan x adalah jumlah barang yangdiproduksi maka fungsi biaya marjinal-nya adalahlim()()666xCx x CxxA+<0.a.Misalkan biaya (dalam dolar US)suatu perusahaan untuk menghasil-kan x pasang sepatu adalahC(x) = 5 + 3x + x2.Carilah fungsi biayanya.b.Analog dengan soal a, lakukan halyang sama untuk C(x) = 10 – 3x +x2.5. Ingat kembali pelajaran Ekonomitentang biaya rata-rata dan biaya total.Misalnya biaya rata-rata yang dikeluar-kan produsen untuk memproduksi Q unitbarang dinyatakan denganCR(Q) = CQQ()CR(Q) = fungsi biaya rata-rataC(Q) = fungsi biaya totalQ= unit barangJika diberikan fungsi biaya totalnya C(Q)= 10.000 + 8Q (dalam ratusan riburupiah), tunjukkan bahwa biaya rata-rataakan stabil (atau mendekati stabil) jikaprodusen secara berlanjut (terus-menerus) meningkatkan jumlah produk-sinya. Bagaimana nilai batas dari biayarata-rata ini? Tunjukkan denganvisualisasi grafik. (Petunjuk: Gunakankonsep limit mendekati tak berhingga).Kata BijakKeberhasilan terbesar dalam hidup adalah dapat bangkitkembali dari kegagalan.